Zadania úloh

PRÍKLADY NA ZHODNÉ ZOBRAZENIE

  1. Daná je kružnica k(S;r) a jej vonkajší bod A. Zostrojte dotyčnice kružnice k s jej dotyčnicou prechádzajúcou bodom A bez použitia Talesovej kružnice. RIEŠENIE
  2. Zostrojte trojuholník ABC, ak je daná jeho ťažnica ta a jeho výšky vb, vc. RIEŠENIE
  3. Zostrojte trojuholník ABC, ak poznáte a+b, va, c. RIEŠENIE
  4. Zostrojte trojuholník ABC, ak poznáte a, b, = - ( je uhol BAC, je uhol ABC, > , a > b). RIEŠENIE
  5. Daná je priamka MN a dve rôzne kružnice k1, k2 ležiace v tej istej polrovine vzhľadom na priamku MN, ktoré s ňou nemajú spoločný bod. Na priamke MN zostrojte taký bod X, aby dotyčnice vedené z bodu X ku kružniciam k1, k2 zvierali s priamkou MN zhodné uhly. RIEŠENIE
  6. Zostrojte spoločné dotyčnice dvoch kružníc k1(S1; r1), k2(S2; r2), ktoré nemajú spoločný bod a jedna neleží vo vnútri druhej, pričom r1r2 bez použitia rovnoľahlosti. RIEŠENIE
  7. Zostrojte rovnoramenný trojuholník ABC, ktorého vrcholy ležia na troch sústredných kružniciach k1(S; r1), k2(S; r2), k3(S; r3). RIEŠENIE

PRÍKLADY NA ROVNOĽAHLOSŤ

  1. K danému trojuholníku ABC zostrojte rovnoľahlé trojuholníky A1B1C1, A2B2C2 v rovnoľahlosti H danej stredom S ležiaceho mimo trojuholníka ABC a koeficientom:
    1. h1=3/5,
    2. h2= -3/5. RIEŠENIE
  2. Určte šírku rieky, ktorej druhý breh je neprístupný. RIEŠENIE
  3. Narysujte všetky spoločné dotyčnice k dvom rôznym kružniciam, ktoré nemajú spoločný žiaden bod a jedna neleží vo vnútri druhej. RIEŠENIE
  4. Do daného konvexného kruhového výseku KSL vpíšte štvorec ABCD tak, aby trojuholník ABC bol rovnoramenný so základňou AB. RIEŠENIE
  5. Zostrojte kružnicu dotýkajúcu sa danej kružnice m(O; r) a danej priamky p v bode T (Pappova úloha). RIEŠENIE
  6. Dané sú dve rôznobežky a, b a kružnica k(K; r), ktorá sa nedotýka žiadnej z nich. Zostrojte kružnicu l, ktorá sa dotýka súčastne a, b, k. RIEŠENIE

PRÍKLADY NA PODOBNOSŤ

  1. Dokážte, že S1, S2, S3, S4 strán AB, BC, CD, AD ľubovoľného štvoruholníka ABCD sú vrcholmi rovnobežníka. Zistite kedy tento rovnobežník bude obdĺžnik, štvorec, kosodĺžnik, kosoštvorec? RIEŠENIE
  2. Dokážte, že dĺžky výšok va, vb, vc trojuholníka ABC sú nepriamo úmerné dĺžkam strán a, b, c. RIEŠENIE
  3. Základne lichobežníka ABCD majú dĺžky a, b. Nájdete dĺžku úsečky YZ vyťatej uhlopriečkami AC, BD na strednej priečke XQ lichobežníka ABCD. RIEŠENIE
  4. Deltoid ABCD má os súmernosti AC a jeho uhly pri vrcholoch B, D sú pravé. Vyjadrite polomer kružnice vpísanej do deltoidu pomocou dĺžok jeho strán. RIEŠENIE
  5. Zostrojte rovnoramenný trojuholník ABC, ak je daný uhol pri jeho základni a súčet výšok vc + va. RIEŠENIE
  6. Je daný vypuklý štvoruholník ABCD s plochov S a bod M, ktorý leží v štvoruholníku. Symetrickými obrazmi stredov strán štvuruholníka ABCD podľa stredu M sú body P, Q, R, T. Určte plochu štvoruholníka PQRT. RIEŠENIE

PRÍKLADY NA KONŠTRUKCIU TROJUHOLNÍKOV

  1. Zostrojte trojuholník ABC, ak poznáte , a výšku vc. RIEŠENIE
  2. Zostrojte trojuholník ABC, ak je daná strana a, výšky vb, vc (vb, vc ležia v tej istej polrovine vzhľadom na priamku BC, vbavc). RIEŠENIE
  3. Zostrojte trojuholník ABC, ak je daný bod M, ktorý je pätou kolmice z vrcholu A na stranu BC; bod N, ktorý je pätou kolmice z vrcholu B na stranu AC a priamka p, na ktorej leží strana AB. RIEŠENIE
  4. Zostrojte trojuholník ABC, ak je daný polomer r opísanej kružnice, výška vc a ťažnica tc. RIEŠENIE
  5. Zostrojte trojuholník ABC, ak je daný jeho obvod a + b + c a uhly a . RIEŠENIE
  6. Zostrojte rovnoramenný trojuholník ABC vpísaný do danej kružnice k(S; r), ak je daný súčet a + v veľkosti jeho základne a príslušnej výšky. RIEŠENIE