Konštrukcie trojuholníkov

2. úloha

Zostrojte trojuholník ABC, ak je daná strana a, výšky v_b, v_c (v_b, v_c ležia v tej istej polrovine vzhľadom na priamku BC, v_bav_c).

Rozbor

Nech trojuholník ABC je riešením úlohy. Označme S stred úsečky BC, R, Q päty výšok v_b, v_c na strany AC, AB. Body R, Q sú vcholmi pravých uhlov zostrojených nad úsečkov BC ležia na Talesovej kružnici t (S; a/2) zostrojenej nad priemerom BC. Zároveň poznáme veľkosti výšok v_b, v_c R k₁ (B; v_b) a Q k₂ (S; v_c). Preto R k₁ t a Q k₂ t. Potom A polpriamka BQ polpriamka CR

Postup

• úsečka BC, |BC| = a
• S; S - stred BC
• t, t (S; a/2)
• k₁, k₁ (B; v_b)
• k₂, k₂ (C; v_c)
• R; R k₁ t
• Q; Q k₂ t
• polpriamka BQ, polpriamka CR
• A; A polpriamke BQ polpriamke CR
• trojuholník ABC

Konštrukcia

Dôkaz správnosti diskusie

• (1) |BC| = a
• (9) Q priamka BA, (6) Q t uhol BQC je pravý úsečka CQ je výškou na stranu AB, (5) Q k₂ |CQ| = v_c
• podobne |BR| = v_b

Diskusia

Ak v_b > a alebo v_c > a, úloha nemá riešenie, lebo vtedy t k₁=0 alebo tk₂=0. Ak v_b < a alebo v_c < a, úloha má jedno riešenie.