Podobnosť

1. úloha

Dokážte, že S₁, S₂, S₃, S₄ strán AB, BC, CD, AD ľubovoľného štvoruholníka ABCD sú vrcholmi rovnobežníka. Zistite kedy tento rovnobežník bude obdĺžnik, štvorec, kosodĺžnik, kosoštvorec?

Riešenie

V trojuholníku ABC je S₁S₂ stredná priečka S₁S₂ || AC |S₁S₂| = 1/2|AC|.
V trojuholníku ACD je S₃S₄ stredná priečka S₃S₄ || AC |S₃S₄| = 1/2|AC|.

Teda S₁S₂ || S₃S₄ || AC |S₁S₂| = 1/2|AC| = |S₃S₄|. Podobne pre dvojicu strán S₁S₂ a S₃S₄. Takže S₁S₂S₃S₄ je rovnobežník.
Ak štvoruholník ABCD má uhlopriečky:

• kolmé a rovnako dlhé S₁S₂S₃S₄ bude štvorec,
• kolmé a rôzne dlhé S₁S₂S₃S₄ bude obdĺžnik,
• rovnako dlhé a nie kolmé S₁S₂S₃S₄ bude kosoštvorec,
• rôzne dlhé a nie kolmé S₁S₂S₃S₄ bude kosodĺžnik.

Konštrukcia