Konštrukcie trojuholníkov

5. úloha

Zostrojte trojuholník ABC, ak je daný jeho obvod a + b + c a uhly a .

Rozbor

Predpokladáme, že trojuholník ABC je riešením úlohy. Zvoľme na priamke BC body B', C' tak, že B' leží na polpriamke opačnej k polpriamke BC a |BB'| = c a bod C' leží na polpriamke opačnej k polpriamke CB a |CC'| = b. Potom |B'C'| = |B'B| + |BC| + |CC'| = a + b +c. Spojme body B', C' s bodom A. Vzniknú dva trojuholníky B'AB a C'AC. V trojuholníku B'AB platí: |BB'| = c = |AB| trojuholník B'AB je rovnoramenný so základňou AB'. Daný uhol = |uhol ABC| je vonkajší uhol tohto trojuholníka a platí: |uhol BB'A| + |uhol B'AB| = |uhol ABC|. Uhly BB'A, B'AB pri základni AB' sú zhodné 2 |uhol BB'A| = |uhol ABC| = |uhol BB'A| = /2. Uplatnením rovnakej úvahy pre trojuholník C'AC dostaneme |uhol CC'A| = /2. V trojuholníku B'C'A teda poznáme stranu |B'C'| = a + b + c a veľkosť k nej priľahlých uhloch vieme ho zostrojiť podľa (usu). Tým získame bod A. Keďže |BB'| = |AB| = c, bod B leží na osi o₁ úsečky AB' Bo₁úsečka B'C'. Podobne Co₂úsečka B'C', kde o₂ je osou úsečky AC'. Teraz poznáme polohu všetkých troch vrcholoch trojuholníka ABC vieme ho zostrojiť.

Postup

• B'C'; |B'C'| = a + b + c
• uhol C'B'X; |uhol C'B'X| = /2
• uhol B'C'Y; |uhol C'B'Y| = /2, polpriamka C'Y leží v polrovine B'C'X
• A; Apolpriamke B'Xpolpriamka C'Y
• trojuholník AB'C'
• o₁, o₂; o₁, o₂ - os úsečka AB', o₂ - os úsečky AC'
• B; Bo₁úsečka B'C'
• C; Co₂úsečka B'C'
• trojuholník ABC

Konštrukcia

Dôkaz správnosti konštrukcie

• Uhol CBA je vonkajším uhlom trojuholníka B'AB, a teda jeho veľkosť sa rovná súčtu veľkostí dvoch vnútorných uhlov trojuholníka B'AB, s ktorými nesusedí, (7) Bo₁ trojuholník B'AB je rovnoramenný so základňou AB', (2) |uhol BB'A| = |uhol B'AB| = /2. Potom |uhol CBA| = |uhol BB'A| + |uhol B'AB| = /2 + /2 = /2
• Podobne |uhol BCA| =
• (7) |AB| = |BB'|, |AC| = |CC'|. Potom |AB| + |BC| + |AC| = |BB'| + |BC| + |CC'| = |B'C'| = a + b +c trojuholník ABC má naozoj obvod a + b + c.

Diskusia

Uhly , máme dané uhol vieme vypočítať. Úloha má vždy jedno riešenie, ak uhly , , môžu byť vnútornými uhlami trojuholníka. Čiže + + = 180°.