Podobnosť

6. úloha

Je daný vypuklý štvoruholník ABCD s plochov S a bod M, ktorý leží v štvoruholníku. Symetrickými obrazmi stredov strán štvuruholníka ABCD podľa stredu M sú body P, Q, R, T. Určte plochu štvoruholníka PQRT.

Riešenie

Keďže stredová súmernosť je zhodné zobrazenie, plocha štvoruholníka PQRT je zhodná s plochou štvoruholníka S₁S₂S₃S₄. Na základe 1. riešenej úlohy môžeme hovoriť o rovnobežníkoch PQRT a S₁S₂S₃S₄. Trojuholník ABC je podobný S₁BS₂ (S₁S₂ je stredná priečka trojuholníka ABC, koeficient podobnosti je 1/2) S_S1BS2 = 1/4 S_ABC. Analogicky sú podobné trojuholníky CDA a S₃DS₄, a teda S_S3DS2 = 1/4 S_CDA.
Dostaneme:
S_S1BS2 + S_S3DS2 = 1/4 S_ABC + S_CDA = 1/4 S_ABCD
Podobne:
trojuholník S₄AS₁ je podobný s trojuholníkom DAB S_S4AS1 = 1/4 S_DAB, trojuholník S₂CS₃ je podobný s trojuholníkom BCD S_S2CS3 = 1/4 S_BCD,
S_S4AS1 + S_S2CS3 = 1/4 S_DAB + 1/4 S_BCD = 1/4 S_ABCD.
Takže
S_PQRT = S_S1S2S3S4 = S_ABCD - S_S1BS2 - S_S3DS4 - S_S4AS1 - S_S2CS3 = S_ABCD - 1/2 S_ABCD = 1/2 S_ABCD

Konštrukcia