Konštrukcie trojuholníkov

6. úloha

Zostrojte rovnoramenný trojuholník ABC vpísaný do danej kružnice k(S; r), ak je daný súčet a + v veľkosti jeho základne a príslušnej výšky.

Rozbor

Zvoľme Ck. Označme m priamku kolmú na priamku CS prechádzajúcu bodom C. Nech trojuholník ABC je riešením úlohy. Keďže je to rovnoramenný trojuholník, musí byť súmerný podľa osi CS priamka CSpriamku AB, priamka AB || m. Označme Mpriamika CSúsečka AB a D bod na polpriamke CS, pre ktorý platí |CD| = a + v. Úsečka CM je zrejmé výškou trojuholníka ABC, preto platí |MD| = |CD| - |CM| = a. Označme ďalej Hpriamka BDm. Vznikli dva trojuholníky BDM, HDC, ktoré sú podobné podľa (uu) (uhly MDB, CDH sú zhodné, uhly DMB, DCH sú pravé)

.
Teraz poznáme polohu bodu H na priamke m a poznáme aj polohu bodu D na priamke CS vieme narysovať priamku DH, na ktorej leží bod B. Bod B však leží aj na kružnici k Bkpriamka DH. Bod A potom nájdeme ako prienik kružnice k a priamky p prechádzajúcej bodom B, rovnobežnej s priamkou m.

Postup

• k; k(S; r)
• C; Ck
• priamka CS
• m; Cmmpriamka CS
• D; Dpolpriamka CS|CD| = a + v
• H; Hm|HC| = (a + v)/2
• úsečka DH
• B; Búsečka DHk
• p; p || mBp
• A; ApkAB
• trojuholník ABC

Konštrukcia

Dôkaz správnosti konštrukcie

• (2) Ck, (8) a (10) A, Bk k je opísaná trojuholníku ABC
• (8), (9) a (10) A, Bpk, (4) a (9) ppriamka CS trojuholník ABC je rovnoramenný
• Trojuholník HDC, BDM sú podobné. V trojuholníku HDC platí:
  
  v trojuholníku BDM platí:
  
  úsečka AB je základňa a úsečka CM je výška trojuholníka ABC. |AB| + |CM| = 2|MB| + |CD| - |MB| = |CD| = a + v súčet výšky a základne trojuholníka ABC je naozoj rovný a + v.

Diskusia

Počet vyhovujúcich trojuholníkov je rovný počtu priesečníkov priamky HD a kružnice k.
Ak priamka HD je dotyčnicou ku kružnici k, potom vrchol B trojuholníka ABC je bodom dotyku trojuholníka SDB je pravouhlý trojuholník SDB a BDM sú podobné podľa (uu).
Potom platí:
v trojuholníku BDM: |MD| = a|MB| = a/2 |MD| : |MB| = 2 : 1 v trojuholníku SDB: |BD| : |SB| = 2 : 1. Keďže |SB| = r |BD| = 2r. Použijeme Pytagorovú vetu pre strany trojuholníka SDB : |SB|² + |BD|² = r² + 4r² |SD|² = 5r² |SD| = r5^1/2. Keďže |SC| = r, platí: a + v = |CD| = |SC| + |SD| = r + r5^1/2 = r(1 + 5^1/2)
ak 2r < a + v < r(1 + 5^1/2) úloha má dve riešenia (HD je úsečkou k),
ak 2r > a + v alebo ak a + v = r(1 + 5^1/2) úloha má jedno riešenie (HD je dotyčnicou k),
ak a + v > r(1 + 5^1/2) úloha nemá riešenie (HD je nesečnicou k)