Rovnoľahlosť

5. úloha

Zostrojte kružnicu dotýkajúcu sa danej kružnice m(O; r) a danej priamky p v bode T (Pappova úloha).

Rozbor

Stred hľadanej kružnice bude ležať na kolmici t k priamke p v bode T. Hľadaná kružnica k a daná kružnica m sú rovnoľahlé v rovnoľahlosti, ktorej stredom je ich bod dotyku M. Priamka p sa v rovnoľahlosti zobrazí do priamky p', ktorá je dotyčnicou ku kružnici m a zároveň je rovnobežná s priamkou p. Preto sa bod T v rovnoľahlosti zobrazí do bodu A, ktorý je bodom dotyku priamky p' s kružnicou m. Bod A sa teda dá ľahko nájsť. Spojnica AT vytne na kružnici m bod M, a tým sa úloha transformuje na úlohu zostrojiť kružnicu dotýkajúcu sa priamky p v bode T a prechádzajúcu bodom M. Stred S hľadanej kružnice k potom nájdeme ako priesečník priamky t a osi o úsečky MT.

Postup

1. t; tpTt
2. t'; t'pOt'
3. A, B; A, Bt'm
4. M, M₁; Mpriamka ATm, M₁priamka BTm
5. o₁, o₂; o₁ - os úsečky MT, o₂ - os úsečky M₁T
6. S₁, S₂; S₁o₁t, S₂o₂t,
7. k₁, k₂; k₁(S₁; |S₁M|), k₂(S₂; |S₂M₁|)

Konštrukcia

Diskusia

Úloha má dve riešenia, ak kružnica m neprechádza bodom T. Ak sa kružnica m dotýka priamky p v bode rôznom od T, existuje jediné riešenie. Ak sa dotýka priamky p v bode T, riešení je nekonečne veľa. Ak m prechádza bodom T, ale nedotýka sa priamky p, riešenie neexistuje.