Rovnoľahlosť

6. úloha

Dané sú dve rôznobežky a, b a kružnica k(K; r), ktorá sa nedotýka žiadnej z nich. Zostrojte kružnicu l, ktorá sa dotýka súčastne a, b, k.

Rozbor

Nech a', b' sú priamky rovnobežné s priamkami a, b vzdialené od nich o dĺžku r, a nech a', b' ležia v polrovinách určených bodom K vzhľadom na priamky a, b. Označme O'ab'. Nájdeme stredy S₁, S₂ kružníc k₁, k₂, ktoré sa dotýkajú priamok a', b' a prechádzajú bodom K.
Stredy S₁, S₂ nájdeme nasledovným spôsobom: Narysujeme o - os ostrého uhla s ramenami a', b'. Na nej zvolíme bod T a zostrojíme kružnicu t(T; |T,a'|), ktorá sa dotýka priamok a', b' a je rovnoľahlá s kružnicami k₁, k₂ podľa stredu rovnoľahlosti O'. Označme: T₁, T₂polpriamka O'Tt. Stredy S₁, S₂ potom nájdeme ako priesečníky osi o s priamkami prechádzajúcimi bodom K, rovnobežními s priamkami TT₁, TT₂.
Potom kružnice l₁, l₂, ktoré budú mať stredy v bodoch S₁, S₂ a ich polomery budú zväčšené oproti polomerom kružníc k₁, k₂ o dĺžku r, sa budú určite dotýkať priamok a, b aj kružnice k. Našli sme dve riešenia. Ďalšie dve by sme našli, keby a', b' ležali v opačných polrovinách vzhľadom na polrovinu určenú bodom K. Polomery hľadaných kružníc by vtedy boli oproti polomerom kružníc dotýkajúcich sa a', b' a prechádzajúcich bodom K zmenšené o dĺžku r.

Postup

1. a', b'; a'||a, b'||b, |a',a| = |b',b| = r
2. o; o - os ostrého uhla s ramenami a', b'
3. T; ToTúsečka OO'
4. t; t(T; |T, a'|)
5. polpriamka O'K
6. T₁, T₂; T₁, T₂tpolpriamka O'K
7. t', t''; t'||úsečka TT₁Kt', t''||úsečka TT₂Kt''
8. S₁, S₂; S₁opriamka t', S₂opriamka t''
9. l₁, l₂; l₁(S₁; |S₁, a|), l₂(S₂; |S₂, a|)

Konštrukcia

Diskusia

Úloha má teda 4 riešenia. Úloha môže mať najviac 8 riešení, a to vtedy, keby priesečník priamok a, b ležal vo vnútrajšku kružnice k.