Zhodné zobrazenia

2. úloha

Zostrojte trojuholník ABC, ak je daná jeho ťažnica t_a a jeho výšky v_b, v_c.

Rozbor
Zvoľme bod S (ASt_a) za stred súmernosti S. Tento bod je od strany AB vzdialený o v_c/2 a od strany AC o v_b/2. Označme päty kolmíc vedených bodom S na strany AB a AC ako body C₁ a B₁ ležia na Talesovej kružnici, ktorej priemer je. Vo zvolenej súmernosti sú body B, C súmerne združené podľa S. Stačí nájsť jeden z nich druhý zostrojíme pomocou súmernosti. Polpriamka AB₁ v súmernosti S zodpovedá polpriamka A'B'₁, ktorej leží bod B. Bod B zároveň leží na polpriamke AC₁. Z toho vyplýva, že bod B vieme nájsť ako priesečník polpriamky A'B'₁ a polpriamky AC'₁.

Postup

• AS; |AS|=t_a
• T; T je stred
• k; k(T; |AS|/2)
• k₁; k₁(S; v_b/2)
• k₂; k₂(S; v_c/2)
• B₁, C₁; B₁kk₁, C₁kk₂
• polpriamka AC₁, polpriamka AB₁
• A'B'₁; S_S(polpriamka AB₁ polpriamka A'B'₁)
• B; B polpriamka AC₁ polpriamka A'B'₁
• C; S_S(B C)
• trojuholník ABC

Diskusia Ak v_b=v_c, úloha má jedno riešenie, v_bv_c, úloha má dve riešenia. V každom prípade musí platiť: t_a> v_b/2 a t_a> v_c/2.