Zhodné zobrazenia

1. úloha

Daná je kružnica k(S;r) a jej vonkajší bod A. Zostrojte dotyčnice kružnice k s jej dotyčnicou prechádzajúcou bodom A bez použitia Talesovej kružnice.

Rozbor
Predpokladajme, že každý bod kružnice k je stredom nejakej súmernosti. V každej súmernosti nájdeme obraz bodu S. Všetky obrazy bodu S ležia na kružnici k'(S;2r). Hľadané body dotyku T' a T'' sú stredmi úsečiek SS' a SS''. Trojuholníky SS'A a SS''A sa dajú vždy zostrojiť, lebo ich vrcholy neležia na jednej priamke. Tieto trojuholníky sú rovnoramenné, s hlavným vrcholom A a s ťažnicami AT', resp. AT''. Preto AT'SS' a AT''SS''. Súčastne T'k, lebo T' je stredom úsečky SS' a platí: |TS| =1/2 |SS'| = r. Analogicky sa ukáže, že T''k. Čiže T' a T'' sú jediné spoločné body priamok AT', AT'' a kružnice k.

Postup

• k'; k'(S,2r)
• l; l(A,|AS|)
• S', S''; S', S'' lk'
• T', T''; T', T'' sú stredom úsečiek SS', SS''

Konštrukcia

Diskusia
Keďže |SA|>r, úloha má 2 riešenia.