Zhodné zobrazenia

5. úloha

Daná je priamka MN a dve rôzne kružnice k₁, k₂ ležiace v tej istej polrovine vzhľadom na priamku MN, ktoré s ňou nemajú spoločný bod. Na priamke MN zostrojte taký bod X, aby dotyčnice vedené z bodu X ku kružniciam k₁, k₂ zvierali s priamkou MN zhodné uhly.

Rozbor

Priamku MN zvolíme za os súmernosti O. V tejto súmernosti nájdeme obraz kružnice k₂ - čiže kružnicu k'₂, ktorá leží v opačnej polrovine ako k₁, k₂ vzhľadom na priamku MN. Známym spôsob nájdeme spoločné dotyčnice ku kružniciam k₁ a k'₂ (Riešenie 6. úlohy). Body X_i sú potom priesečníky týchto dotyčníc s priamkou MN. To, že príslušné uhly sú navzájom naozaj zhodné, vyplýva z osovej súmernosti.

Postup

1. k'₂; O_MN(k₂ k'₂)
2. d₁, d₂, d₃, d₄;
   d₁, d₂, d₃, d₄ sú spoločné dotyčnice ku kružniciam k₁ a k'₂
3. X₁, X₂, X₃, X₄;
   X₁d₁MN, X₂d₂MN,
   X₃d₃MN, X₄d₄MN

Konštrukcia

Diskusia

Na priamke MN existuje toľko hľadaných bodov X, koľko existuje spoločných dotyčníc ku kružniciam k₁ a k'₂. Zo zadania úlohy vyplýva, že k₁k'₂ = 0, pričom jedna neleží vo vnútri druhej existujú 4 spoločné dotyčnice k týmto kružniciam úloha má 4 riešenia.