Rovnoľahlosť

4. úloha

Do daného konvexného kruhového výseku KSL vpíšte štvorec ABCD tak, aby trojuholník ABC bol rovnoramenný so základňou AB.

Rozbor

Označme hľadaný štvorec ABCD. Platí o ňom: ASK, BSL, úsečka AB je kolmá na os uhla KSL (inými slovami, os uhla KSL je zároveň osou úsečky AB) a body C, D patria oblúku KL (označme ho k). Zostrojme pomocný štvorec A₁B₁C₁D₁ tak, aby platilo: A₁SK, B₁SL, úsečka A₁B₁ je kolmá na os uhla KSL a vrcholy C₁, D₁ ležia vo vnútri uhla KSL. Je zrejmé, že os uhla KSL je zároveň osou úsečiek A₁B₁, C₁D₁ |SC₁| = |SD₁|. Body C₁, D₁ teda ležia na kružnicovom oblúku l so stredom v S a polomerom |SC₁|. Ramená uhla KSL a kružnicový oblúk l nám ohraničujú kruhový výsek, do ktorého je vpísaný štvorec A₁B₁C₁D₁. Zvoľme bod S za stred rovnoľahlosti H s koeficientom h rovným podielu polormerov kružnicových oblúkov k, l(h = r_k/r_l). Potom kružnicové oblúky l a k sú vo vzťahu vzor a obraz v nami zvolenej rovnoľahlosti H. To isté platí aj o kruhových výsekoch ohraničených ramenami uhla KSL a oblúkmi l a k, a teda aj štvorcoch do nich vpísaných. Inými slovami, hľadaný štvorec ABCD je obrazom pomocného štvorca A₁B₁C₁D₁ v rovnoľahlosti H. Preto A = H_S,h(A₁), B = H_S,h(B₁), C = H_S,h(C₁), D = H_S,h(D₁). Keďže D₁l D bude patriť obrazu oblúka l rovnoľahlosti H Dk, D₁SD₁ DSD₁.
Takže dostaneme: DkSD₁. Analogicky CkSC₁.
Body A, B nájdeme na úsečkách SK, SL tak, aby spolu s bodmi C, D boli vrcholmi štvorca ABCD.

Postup

1. A₁; A₁SK
2. o; o - os uhla KSL
3. B₁; B₁SLA₁B₁o
4. C₁, D₁; C₁, D₁ ležia vo vnútri uhla KSL tak, aby A₁B₁C₁D₁ bol štvorec
5. polpriamka SC₁, polpriamka SD₁
6. C, D; Ckpolpriamka SC₁, Dkpolpriamka SD₁
7. k₁, k₂; k₁(D; |CD|), k₂(C; |CD|)
8. A, B; Ak₁SK, Bk₂SL
9. ABCD

Konštrukcia

Diskusia

Obraz vzoru je v rovnoľahlosti jednoznačne daný vždy existuje jediné riešenie.