Konštrukcie trojuholníkov

4. úloha

Zostrojte trojuholník ABC, ak je daný polomer r opísanej kružnice, výška v_c a ťažnica t_c.

Rozbor

Nech trojuholník ABC je riešením úlohy. Označme D pätu výšky v_c na stranu c a E stred strany c. Trijuholník EDC je pravouhlý. Poznáme v ňom veľkosť dvoch strán (|EC| = t_c, |CD| = v_c) a uhol CDE, ktorý je pravý tento trojuholník vieme zostrojiť podľa (ssu). Nájdeme stred S kružnice opísanej trojuholníku ABC: S leží na osi úsečky AB So, pričom o prechádza bodom E a je kolmá na úsečku ED. Súčastne platí: |SC| = r Sl(C; r). Preto Sol. Body A, B ležia na priamke ED a súčastne na opísanej kružnici k(S; r)A, Bkpriamka ED, AB.

Postup

• CD; |CD| = v_c
• uhol CDX; |uhol CDX| = 90°
• m; m(C; t_c)
• E; Empolpriamka DX
• priamka ED
• o; opriamka EDEo
• l; l(C; r)
• S; Slo
• k; k(S; r)
• A, B; A, Bkpriamka DXAB
• trojuholník ABC

Konštrukcia

Dôkaz správnosti konštrukcie

• (7), (8) a (9) |SC| = r, Cr, (10) A, Bk k(S; r) je kružnica opísaná trojuholníku ABC
• (1) |CD| = v_c, (2) a (4) úsečka CD priamka ED, (10) úsečka AB leží na priamke ED úsečka CDpriamka AB úsečka CD je výškou na stranu c trojuholníka ABC a má veľkosť v_c
• (6) a (8) priamka ESpriamka AB, (4) a (10) A, Bk |AS| = |BS|, potom E je stredom úsečky AB, (3) a (4) |CE| = t_c, úsečka CE je teda ťažnicou na stranu c trojuholníka ABC a jej veľkosť je t_c

Diskusia

Počet riešení závisí od existencie bodov E, A, B a od počtu stredov S.
Preto:

1. ak t_c < v_c úloha nemá riešenie, lebo neexistuje bod E
2. ak t_c = v_c, potom E = D a
   1. ak rv_c/2, nevzniknú body A, B 0 riešení
   2. ak r > v_c/2 1 riešenie
3. ak t_c > v_c, potom
   1. ak r < |ED|, nevznikne bod S 0 riešení
   2. ak r = |ED|, vznikne práve jeden bod S, potom:
      1. ak rv_c, nevzniknú bodyA, B 0 riešení,
      2. ak r > v_c 1 riešenie.
   3. ak r > |ED|, vzniknú dva body S₁, S₂, potom:
      1. ak r|S₁E|, nevzniknú body A, B 0 riešení,
      2. ak |S₁E| < r |S₂E|, vznikne jediná dvojica bodov A, B 1 riešenie,
      3. ak r > |S₂E|, vzniknú dve dvojice bodov A, B 2 riešenia.

   Veľkosť úsečky S₁E, S₂E určíme podľa:
   ,
   .
   Veľkosť |ED| určíme z pravouhlého trojuholníka ECD; .