Zhodné zobrazenia

S definíciou pojmu zobrazenie sa stretávajú žiaci až na strednej škole. Avšak už na základnej škole intuitívne chápu zobrazenie ako nejaké priradenie. V 6. ročníku sa stretávajú so strednovou a osovou súmernosťou, osvoja si pojmy vzor a obraz i základné vlastnosti oboch súmerností, riešia jednoduché konštrukčné úlohy a naučia sa formálne zapisovať zobrazenie ako priradenie XX' (bodu X priradíme bod X').

Stredová súmernosť

Definícia: Stredovou súmernosťou S danou stredom S je zhodné zobrazenie v rovine, ktoré bodu X=S priradí bod X'=S a každému XS priradí bod X' tak, že platí:
• X, X', S ležia na jednej priamke,
• |XS|=|X'S|, pričom X'X.
Zapisujeme S_S(XX').

Vlastnosti

• stredová súmernosť je svojim stredom jednoznačne určená (to znamená, že po zostrojení stredu môžeme v tejto súmernosti každému bodu X roviny priradiť práve jeden obraz X'),
• má jediný samodružný bod, a to stred S,
• samodružné priamky stredovej súmernosti sú všetky priamky prechádzajúce stredom S,
• stredová súmernosť zobrazí každú priamku do priamky s ňou rovnobežnej,
• stredová súmernosť zobrazí uhol do uhla s ním zhodného,
• stredovú súmernosť možno rozložiť na dve osové súmernosti, ktorých osi sú dve ľubovoľné navzájom kolmé priamky prechádzajúce stredom S danej súmernosti,
• každé dva body roviny sú vzorom a obrazom v práve jednej stredovej súmernosti, ktorej stredom S je stred úsečky danej týmito dvoma bodmi.

Osová súmernosť

Definícia: Osovou súmernosťou O danou osou o je zhodné zobrazenie v rovine, ktoré každému bodu Xo priradí bod X'=X a každému bodu X o priradí bo X' tak, že platí:
• X' leží v opačnej polrovine ako bod X vzhľadom na os o,
• úsečka XX' je kolmá na os o,
• body X, X' sú od osi o rovnako vzdialené.
Zapisujeme O_o(XX').

Vlastnosti

• osová súmernosť je osou o súmernosti jednoznačne daná (to znamená, že po zostrojení osi súmernosti môžeme v tejto súmernosti každému bodu X roviny priradiť jeho obraz X'),
• samodružné body sú všetky body osi o,
• samodružné priamky sú os o a všetky priamky kolmé na os o,
• obrazom každej priamky p rovnobežnej s osou o súmernosti je priamka p' rovnobežná s osou o,
• obrazom každej priamky q rôznobežnej s osou o súmernosti, je priamka q' pretínajúca primaku q v bode osi o,
• obrazom uhla v osovej súmernosti je uhol s ním zhodný,
• každé dva body roviny sú vzorom a obrazom v práve jednej osovej súmernosti, ktorej osou o je os úsečky danej týmito dvoma bodmi.

PRÍKLADY NA ZHODNÉ ZOBRAZENIE

1. Daná je kružnica k(S;r) a jej vonkajší bod A. Zostrojte dotyčnice kružnice k s jej dotyčnicou prechádzajúcou bodom A bez použitia Talesovej kružnice. RIEŠENIE
2. Zostrojte trojuholník ABC, ak je daná jeho ťažnica t_a a jeho výšky v_b, v_c. RIEŠENIE
3. Zostrojte trojuholník ABC, ak poznáte a+b, v_a, c. RIEŠENIE
4. Zostrojte trojuholník ABC, ak poznáte a, b, = - ( je uhol BAC, je uhol ABC, > , a > b). RIEŠENIE
5. Daná je priamka MN a dve rôzne kružnice k₁, k₂ ležiace v tej istej polrovine vzhľadom na priamku MN, ktoré s ňou nemajú spoločný bod. Na priamke MN zostrojte taký bod X, aby dotyčnice vedené z bodu X ku kružniciam k₁, k₂ zvierali s priamkou MN zhodné uhly. RIEŠENIE
6. Zostrojte spoločné dotyčnice dvoch kružníc k₁(S₁; r₁), k₂(S₂; r₂), ktoré nemajú spoločný bod a jedna neleží vo vnútri druhej, pričom r₁r₂ bez použitia rovnoľahlosti. RIEŠENIE
7. Zostrojte rovnoramenný trojuholník ABC, ktorého vrcholy ležia na troch sústredných kružniciach k₁(S; r₁), k₂(S; r₂), k₃(S; r₃). RIEŠENIE