Rovnoľahlosť

S pojmom rovnoľahlosť sa žiaci stretávajú prvýkrát až na strednej škole. V gymnáziu je toto učivo zaradené do prvého ročníka.

Podobne, ako je to pri zhodných zobrazeniach, aj rovnoľahlosť je zobrazenie s určitými špecifickými vlastnosťami. Daný je pevný bod S, ktorý nazveme stredom rovnoľahlosti a reálne číslo h (zvyčajne sa požaduje, aby h0, h1), ktoré nazveme koeficientom rovnoľahlosti. Každému bodu roviny X priradíme X' tak, aby |S'| = |h|.|SX|, a aby bod X' ležal na polpriamke SX, ak je h>0, a na polpriamke opačnej k polpriamke SX, ak je h<0. Takže rovnoľahlosť si môžeme zadefinovať takto :

Definícia : Rovnoľahlosť (homotetia) so stredom S a koeficientom h0 je zobrazenie, ktoré priraďuje bodu X = S bod X ' tak, že platí |SX'| = |h|.|SX|, pričom X' leží pre h>0 na polpriamke SX a pre h<0 na polriamke opačnej k SX. Označme H_S(S,h).

Na konštrukčné účely sa rovnľahlosť určuje obyčajne svojim stredom a jednou dvojicou bodov vzor-obraz : H_S(AA' ). Všetky tri body sú pritom rôzne a ležia na je jednej priamke.

Vlastnosti rovnoľahlosti

• rovnoľahlosť zobrazuje každú priamku na priamku s ňou rovnobežnú,
• rovnoľahlosť zobrazuje každú úsečku XY na úsečku X'Y' , pre ktorú platí : X'Y' || XY, |SX'| = |h|.|SX|,
• každé dve rovnobežné úsečky, ktoré nie sú zhodné, sú rovnoľahlé dvoma spôsobmi (existujú práve dve rovnoľahlosti, ktoré jednu z nich zobrazia na druhú),
• každé dve kružnice sú rovnoľahlé dvoma spôsobmi,
• každé dva rovnoľahlé trojuholíky sú podobné,
• nie každé dva podobné trojuhololníky sú rovnoľahlé.

Konštrukčné a iné úlohy s využitím rovnoľahlosti
Rovnoľahlosť sa zvyčajne používa

• pri hľadaní spoločných dotyčníc dvoch kružníc,
• pri hľadaní množiny bodov s danou vlastnosťou,
• v úlohách, v ktorých vystupuje pomer.

V konštrukčných úlohách môžeme rovnoľahlosť použiť tak, že najprv zostrojíme útvar rovnoľahlý s hľadaným útvarom a potom podľa ďalších podmienok zostrojíme hľadaný útvar. (Spoločné dotyčnice dvoch kružníc sa dajú nájsť aj bez použitia rovnoľahlosti)

PRÍKLADY NA ROVNOĽAHLOSŤ

1. K danému trojuholníku ABC zostrojte rovnoľahlé trojuholníky A₁B₁C₁, A₂B₂C₂ v rovnoľahlosti H danej stredom S ležiaceho mimo trojuholníka ABC a koeficientom:
   1. h₁=3/5,
   2. h₂= -3/5. RIEŠENIE
2. Určte šírku rieky, ktorej druhý breh je neprístupný. RIEŠENIE
3. Narysujte všetky spoločné dotyčnice k dvom rôznym kružniciam, ktoré nemajú spoločný žiaden bod a jedna neleží vo vnútri druhej. RIEŠENIE
4. Do daného konvexného kruhového výseku KSL vpíšte štvorec ABCD tak, aby trojuholník ABC bol rovnoramenný so základňou AB. RIEŠENIE
5. Zostrojte kružnicu dotýkajúcu sa danej kružnice m(O; r) a danej priamky p v bode T (Pappova úloha). RIEŠENIE
6. Dané sú dve rôznobežky a, b a kružnica k(K; r), ktorá sa nedotýka žiadnej z nich. Zostrojte kružnicu l, ktorá sa dotýka súčastne a, b, k. RIEŠENIE