Podobnosť

Žiaci pojem podobnosť poznajú už zo základnej školy. Pri vyslovení tohto pojmu si predstavia predovšetkým podobnosť trojuholníkov. Preto si najprv aj my zadefinujme, kedy sú dva trojuholníky podobné.

Definícia : Trojuholník ABC je podobný trojuholníku ABC s pomerom podobnosti k>0 práve vtedy, keď súčasne platí:

O tom, či sú dva trojuholíky podobné, vieme rozhodnúť buď na základe definície (sss) podobnosti trojuholníkov, alebo na základe niektorej z viet o podobnosti trojuholníkov.

Vety o podobnosti trojuholníkov.
(uu) Trojuholníky, ktoré sa zhodujú v dvoch vnútorných uhloch, sú podobné
(sus) Trojuholníky, ktoré majú rovnaký pomer dĺžok dvojíc zodpovedajúcich si strán a zhodujú sa v uhle, ktorý tieto strany zvierajú, sú podobné.
(ssu) Trojuholníky, ktoré majú rovnaký pomer dĺžok dvojíc zodpovedajúcich si strán a zhodujú sa v uhle oproti väčšej z nich, sú podobné.

Podobnosť je jednoznačne určená, ak je daný trojuholník ABC a trojuholník A'B'C' podobný s trojuholníkom ABC a ak vyžadujeme, aby podobnosťou prešli body A, B, C do bodov A', B', C'. Inými slovami, vyžadujeme, aby existovalo zobrazenie P, ktoré bodu A priradí bod A', bodu B priradí bod B', bodu C priradí bod C'. Takéto zobrazenie existuje pri každej dvojici podobných trojuholníkov ABC, A'B'C'. Nazvime ho podobným zobrazením. Dá sa dokázať, že každé podobné zobrazenie v rovine možno vyjadriť ako zloženie rovnoľahlosti a zhodnosti (resp. rovnoľahlosti a jednej alebo dvoch osových súmerností).
Poznatky o podobných trojuholníkoch môžeme rozlíšiť na podobnosť útvarov :

Definícia : Útvar U' je podobný útvaru U s pomerom podobosti k práve vtedy, keď existuje také priradenie bodov X',Y' útvaru U' bodom X,Y útvaru U, že platí |X'Y'| = k.|XY| pre každé dve dvojice (X,Y),(X',Y').

Inak povedané, dva útvary U,U' nazývame podobné, ak možno nájsť podobné zobrazenie, pomocou ktorého prechádza útvar U do útaru U'.

Vlastnosti podobnosti a podobného zobrazenia

• zodpovedajúce si uhly v podobných trojuholníkoch sú zhodé,
• zhodné trojuholníky sú podobné s pomerom podobnosti k = 1,
• každé dva rovnoľahlé trojuholníky sú podobné, pričom pomer podobnosti je k = |h|, kde h je koeficient príslušnej rovnoľahlosti,
• obrazom priamky v podobom zobrazení je priamka (obraz a vzor nemusia byť rovnobežné),
• obrazom úsečky AB je úsečka A'B', o ktorej dĺžke platí |A'B'| = k.|AK|, kde k je koeficient podobnosti,
• obrazom uhla je uhol zhodný s daným uhlom.

Podobnosť sa využíva vo výpočtových úlohách, dôkazoch (napr. Euklidove vety) i v konštrukčných úlohách. Metóda riešenia konštrukčných úloh pomocou podobnosti tkvie v tom, že najprv zostojíme útvar podobný hľadanému, potom podľa ďaších podmienok úlohy zostrojíme hľadaný útvar.

PRÍKLADY NA PODOBNOSŤ

1. Dokážte, že S₁, S₂, S₃, S₄ strán AB, BC, CD, AD ľubovoľného štvoruholníka ABCD sú vrcholmi rovnobežníka. Zistite kedy tento rovnobežník bude obdĺžnik, štvorec, kosodĺžnik, kosoštvorec? RIEŠENIE
2. Dokážte, že dĺžky výšok v_a, v_b, v_c trojuholníka ABC sú nepriamo úmerné dĺžkam strán a, b, c. RIEŠENIE
3. Základne lichobežníka ABCD majú dĺžky a, b. Nájdete dĺžku úsečky YZ vyťatej uhlopriečkami AC, BD na strednej priečke XQ lichobežníka ABCD. RIEŠENIE
4. Deltoid ABCD má os súmernosti AC a jeho uhly pri vrcholoch B, D sú pravé. Vyjadrite polomer kružnice vpísanej do deltoidu pomocou dĺžok jeho strán. RIEŠENIE
5. Zostrojte rovnoramenný trojuholník ABC, ak je daný uholpri jeho základni a súčet výšok v_c + v_a. RIEŠENIE
6. Je daný vypuklý štvoruholník ABCD s plochov S a bod M, ktorý leží v štvoruholníku. Symetrickými obrazmi stredov strán štvuruholníka ABCD podľa stredu M sú body P, Q, R, T. Určte plochu štvoruholníka PQRT. RIEŠENIE