Exponenciálna funkcia

Definícia:
Exponenciálna funkcia so základom a sa nazýva funkcia daná predpisom:
y = ax;
kde a Î R+ - {1}



x
0
1
2
3
4
y = 2x
1
2
4
8
16


    Typ závislosti naznačený tabuľkou nás vedie k skúmaniu exponenciálnych funkcií t. j. funkcií tvaru
y = ax, kde a > 0 a x Î R. Nakreslíme najprv grafy niekoľkých takýchto funkcií. Spravme tabuľku:

x
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
2x
1/8
1/4
1/2
1
2
4
8
16
3x
1/27
1/9
1/3
1
3
9
27
81
5x
1/125
1/25
1/5
1
5
25
125
625
0,5x
8
4
2
1
1/2
1/4
1/8
1/16
0,3x
1000/27
100/9
10/3
1
0,3
0,09
0,027
0,0081
0,1x
1000
100
10
1
0,1
0,01
0,001
0,0001

    Pre a > 1 je funkcia y = ax rastúca, pre 0 < a < 1 je klesajúca a pre a = 1 je konštantná. Navyše pre každé a platí a0 = 1, teda grafy všetkých exponenciálnych funkcií prechádzajú bodom [0, 1]. Ďalej pre exponenciálne funcie platí:

        1. Všetky funkčné hodnoty sú kladné, dokonca oborom hodnôt exponenciálnej funkcie y = ax je množina všetkých kladných reálnych čísel.
        2. Pre a ą 1 sú exponenciálne funkcie prosté.
        3. Grafy funkcií y = ax a pre a ą 1 sa primkýnajú k osi x, akosi sa k nej na jednom konci blížia
        4. Exponenciálna funkcia nemá maximum ani minimum.
        5. Exponenciálna funckia je zdola a nie je zhora ohraničená.

Príklady :

    lahke Príklad 1 : V tej istej súradnicovej sústave načrtnite graf funkcie y = 2 x a graf funkcie y = (1/2) x.

    lahke Príklad 2 : Dokážte, že číslo (7/3)-0.5 je menšie ako 1. Využite pritom vlastnosti exponenciálnej funkcie y = (7/3)x.

    lahke Príklad 3 : Rozhodnite, či je pravdivý výrok 0,41.6 < 0,41.8. Pri rozhodovaní využite vlastnosti exponenciálnych funkcií.

Ďalšie úlohy