Pytagorova veta

V pravouhlom trojuholníku ABC, v ktorom pravým uhlom je uhol g, platí :
            



c2 = a2 + b2

       Druhá mocnina veľkosti prepony pravouhlého trojuholníka sa rovná súčut druhých mocnín veľkostí odvesien tohto trojuholníka.


Dôkaz pomocou Kosínusovej vety :

       Ako dôkaz Pytagorovej vety stačí použiť rovnosť : c2 = a2 + b2 - 2 a b cos g    z Kosínusovej vety a dosadiť g = p / 2 .

Dôkaz obrátenej Pytagorovej vety :

       Dôkaz urobíme sporom : Predpokladajme, že pre dĺžky a, b, c strán trojuholníka ABC platí : c2 = a2 + b2, pričom uhol ACB oproti strane c nie je pravý.
Vieme zostrojiť trojuholník ABC1 taký, aby platilo :
       |AC1| = |AC|,
       |uhol AC1B| = 90o
      Trojuholník ABC1 je pravouhlý s pravým uhlom oproti strane c - pre dĺžky jeho strán b, c, a1 platí Pytagorova veta c2 = a2 + b2. Keďže ľavé strany rovníc sa rovnajú, musia sa aj pravé strany rovníc rovnať, teda dostávame :
       a12 + b2 = a2 + b2
Odčítame b2 : a12 = a2
      Keďže a1, a sú kladné, dostávame : a1 = a - trojuholníky ABC, ABC1 sú zhodné podľa sss, ale nezhodujú sa v zodpovedajúcich si vnútorných uhloch ACB, AC1B - spor. Predpoklad, že uhol ACB nie je pravý, je teda nesprávny. To znamená, že ak pre strany a, b, c trojuholníka ABC platí c2 = a2 + b2, je tento trojuholník pravouhlý s pravým uhlom oproti strane c, čo bolo treba dokázať.

Dôkaz pomocou podobnosti :

Použijeme tvrdenia z dôkazu Euklidovej vety o odvesne :
      

a2 + b2 = c.ca + c.cb = c ( ca + cb ) = c2 - > c2 = a2 + b2.