Logaritmus a logaritmická funkcia


Definícia logaritmu :

Nech a > 0, a ą 1 a x je kladné reálne číslo. Logaritmom čísla x pri základe a nazveme to číslo y, pre ktoré ay = x. Toto číslo y označujeme logax.


Definícia logaritmickej funkcie :

Logaritmickou funkciou so základom a (a Î R+ - {1}) sa nazýva funkcia, ktorá je inverzná k exponenciálnej funkcii a má predpis:
y = logax


   Uvažujme o exponenciálnej funckii f : y = ax. Hodnota funkcie f-1, ktorá je priradená číslu x, má špeciálne označenie : logax, čo čítame logaritmus x pri základe a. Urobme tabuľku a nakreslime si graf funkcie y = log2x.

x
1/16
1/8
1/4
1/2
  1  
  2  
  4  
  8  
  16 
log2x
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4

   Ako bude vyzerať graf funkcie y = log3x? Stačí si uvedomiť, že log3x = log32 = 0,63209 log2x, teda funkcia log3x je násobkom funkcie y = log2x a jej graf dostaneme stlačením grafu funkcie y = log2x pozdĺž osi y. Podobne "dopadnú" ostatné logaritmické funkcie - funkcia y = logax je kladným alebo záporným násobkom funkcie y = log2x, v závislosti od toho, či číslo log2a je kladné alebo záporné.


Vlastnosti logaritmických funkcií

  1. Všetky logaritmické funkcie prechádzajú bodom [1, 0].
  3. Funkcia y = logax je pre a > 1 rastúca.
  4. Funkcia y = logax je pre 0 < a < 1 klesajúca.
  5. D(f) = R+.
  6. Logaritmické funkcie sú prosté.
  7. Grafy logaritmických funkcií sa primkýnajú k osi y.
  8. Nemá ani maximum ani minimum.
  9. Ani zhora ani zdola nie je ohraničená.


Príklady :

    lahke Príklad 1 : Rozhodnte, ktoré z výrokov a) log47 < log49, b) log1012 Ł log0,312 sú pravdivé. Využite pritom poznatky o vlastnostiach logaritmických funkcií.

Ďalšie úlohy