Supermat

Séria č. 4 / 2001

1. Na hodine pestovateľských prác v Čarodejníckej akadémii riešili adeptky čarodejníckeho umenia úlohu o rozmeroch Záhona na pestovanie čarodejných bylín. Dozvedeli sa, že záhon má mať tvar trojuholníka, ktorého dĺžky strán (vyjadrené v stopách) tvoria trojicu za sebou idúcich prirodzených čísel, pričom výmera záhona má byť 84 stôp štvorcových. Roxana, ktorá vynikala v schopnosti riešiť rôzne typy rovníc (a zoznam trigonometrických vzťahov nosila stále so sebou), si s úlohou hravo poradila a rozmery záhona určila v krátkom čase. Dokonca zistila, že ide o trojuholník, ktorého jedna z výšok má tiež celočíselnú dĺžku a spolu s dĺžkami strán tvorí štvoricu za sebou nasledujúcich prirodzených čísel. Dokážete rozmery záhona určiť aj vy?



2. Súčet dĺžok ťažníc ľubovoľného trojuholníka je viac ako 3/4 jeho obvodu, ale menej ako jeho obvod. Dokážte!



3. Je daný konvexný deväťuholník A₁ A₂ . . . A₉. Päť z jeho vrcholov zafarbíme na červeno, štyri na modro. Koľkými spôsobmi možno realizovať takéto zafarbenie vrcholov, ak má práve 13 uhlopriečok deväťuholníka spájať vrcholy rovnakej farby?



4. Nájdite všetky kladné riešenia sústavy rovníc:
            x + 1/y = 2 ; y + 1/z = 2 ; z + 1/x = 2