Supermat

Séria č. 1 / 2001

  1. Päťciferné číslo N, ktorého zápis v desiatkovej sústave obsahuje jednu nulu a končí číslicou jeden, dáva pri delení číslom 43 trojciferný podiel a trikrát za sebou sa pri algoritme delenia opakuje ten istý zvyšok. Určte N!


  2. Možno nájsť tri navzájom rôzne reálne čísla a,b, c také, aby platila rovnosť:
    a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)=0? (Návod: všimnite si súčin (a-b)(b-c)(a-c)!)


  3. Majme v rovine n rôznych priamok p1,p2, .., pn. Označme červenou farbou tie body roviny, ktorými prechádzajú práve 3 z uvažovaných priamok. Nech pre všetky i patriace do množiny {1, 2, ..., n} označuje číslo ai počet červených bodov na priamke pi.
    1. Existuje systém šiestich priamok v rovine takých, aby platilo: (a1,a2,...,a6)=(1,1,1,2,2,2)? Ak áno, situáciu nakreslite!
    2. Ak existuje systém ôsmich priamok v rovine, pre ktoré platí (a1,a2,...,a8)=(2,2,2,2,2,2,3,3), koľkými červenými bodmi musia dané priamky prechádzať? Existuje takýto systém?


  4. Dokážte, že číslo (2+1)(22+1)(24+1)...(22n+1) je pre každé n patriace do N mocninou dvoch.