Rozhodnite, či funkcia t : y = 2x + 1 je ohraničená na intervale < - oo, 0 >.

Riešenie :

    a) Vieme, že funkcia t je rastúca, a preto pre každé x Î ( - oo, 0 > platí t (x) Ł t (0), čiže t (x) Ł 1. Z toho vyplýva, že t je funkcia zhora ohraničená na intervale ( -oo, 0 >.

    b) Predpokladajme, že funkcia t je na intervale ( -oo, 0 > zdola ohraničená. To znamená, že existuje také reálne číslo d, že pre všetky x Î ( - oo, 0 > platí t (x) ł d, čiže 2x + 1 ł d. Z toho ale vyplýva, že pre všetky x Î ( - oo, 0 > platí x ł ( d - 1 ) / 2, t.j. všetky nekladné reálne čísla sú väčšie alebo sa rovnajú číslu ( d - 1 ) / 2. Ale to zrejme neplatí - dostali sme spor s predpokladom. Preto funkcia t nie je na intervale ( -oo, 0 > zdola ohraničená. Prišli sme k záveru, že funkcia t : y = 2x + 1 nie je na intervele ( -oo, 0 > ohraničená.