Riešenie:
Budeme sa usilovať vyjadriť funkciu k pomocou funkcií, v ktorých sa nevyskytujú absolútne hodnoty:
1. a) Ak x - 2 ł 0, t. j. x ł 2, tak |x - 2| = x - 2.
2. a) Ak x - 2 < 0, t. j. x < 2, tak |x - 2| = -(x - 2).
1. b) Ak x + 1 ł 0, t. j. x ł -1, tak |x + 1| = x + 1.
2. b) Ak x + 1 < 0, t. j. x Ł -1, tak |x + 1| = -(x + 1).
Nerovnosti z predchádzajúcich štyroch riadkov nám umožňujú rozložiť množinu R na tri navzájom disjunktné intervaly.
(-Ą, -1), <-1, 2), <2, +Ą)
(všimnite si, že pre čísla -1, 2 nadobúda vždy jeden z výrazov |x - 2|, |x + 1| nulové hodnoty.)
Teraz vyjadríme v každom z uvedených intervalov výraz |x - 2| + |x + 1| tak, aby sa v ňom nevyskytovali absolútne hodnoty:
1. Pre x Î (-Ą, -1) platí :
|x - 2| = -(x - 2),
|x + 1| = -(x + 1),
a teda |x - 2| + |x + 1| = -(x - 2)-(x + 1) = -2x + 1.
2. Pre x Î <-1, 2) platí:
|x - 2| = -(x - 2),
|x + 1| = x + 1,
a teda |x - 2| + |x + 1| = -(x - 2)+(x + 1) = 3.
3. Pre x Î <2, +Ą) platí:
|x - 2| = x - 2,
|x + 1| = x + 1,
a teda |x - 2| + |x + 1| = (x - 2)+(x + 1) = 2x - 1.
Riešenie môžeme zapísať prehľadnejšie do tabuľky:
|